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拉马努金Θ函数 - 维基百科，自由的百科全书

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序言

1定义

2与其他函数的联系

3應用

4参考资料

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拉马努金Θ函数

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本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2020年5月12日)若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。

此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2020年5月9日)請邀請適合的人士改善本条目。更多的細節與詳情請參见討論頁。

此條目已列出參考文獻，但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2020年5月9日)请加上合适的文內引註来改善这篇条目。

拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。

定义[编辑]

拉马努金theta函数被定义为

f

(

a

,

b

)

≡

∑

k

=

−

∞

∞

a

k

(

k

+

1

)

/

2

b

k

(

k

−

1

)

/

2

;

/

|

a

b

|

<

1

{\displaystyle f(a,b)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|<1}

而其中

f

(

a

,

b

)

=

f

(

b

,

a

)

{\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}

对于所有的

∀

a

=

−

1

{\displaystyle \forall a=-1}

，拉马努金theta函数取到简单零点。

拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义，如

f

(

a

,

b

)

=

(

−

a

;

a

b

)

∞

(

−

b

;

a

b

)

∞

(

a

b

;

a

b

)

∞

{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }(-b;ab)_{\infty }(ab;ab)_{\infty }}

这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示，

f

(

a

,

b

)

=

1

+

∫

0

∞

2

a

exp

⁡

(

−

t

2

/

2

)

2

π

[

1

−

a

a

b

cosh

⁡

(

ln

⁡

(

a

b

)

t

)

1

+

a

3

b

−

2

a

a

b

cosh

⁡

(

ln

⁡

(

a

b

)

t

)

]

d

t

+

∫

0

∞

2

b

exp

⁡

(

−

t

2

/

2

)

2

π

[

1

−

b

a

b

cosh

⁡

(

ln

⁡

(

a

b

)

t

)

1

+

a

b

3

−

2

b

a

b

cosh

⁡

(

ln

⁡

(

a

b

)

t

)

]

d

t

{\displaystyle f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2a\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2b\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt}

与其他函数的联系[编辑]

单变量的拉马努金theta函数被定义成

f

(

−

q

)

≡

f

(

−

q

,

−

q

2

)

=

(

q

,

q

)

∞

;

/

|

q

|

<

1

{\displaystyle f(-q)\equiv f(-q,-q^{2})=(q,q)_{\infty };/|q|<1}

此外，拉马努金phi函数，拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：

φ

(

q

)

≡

f

(

q

,

q

)

=

(

−

q

,

−

q

)

∞

(

+

q

,

−

q

)

∞

{\displaystyle \varphi (q)\equiv f(q,q)={\frac {(-q,-q)_{\infty }}{(+q,-q)_{\infty }}}}

而它就是第三雅可比theta函数的特例

φ

(

q

)

=

ϑ

3

(

q

)

{\displaystyle \varphi (q)=\vartheta _{3}(q)}

，它的级数表达是OEIS中的数列A000122 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。

ψ

(

q

)

≡

f

(

q

,

q

3

)

=

(

q

2

,

q

2

)

∞

(

q

,

q

2

)

∞

{\displaystyle \psi (q)\equiv f(q,q^{3})={\frac {(q^{2},q^{2})_{\infty }}{(q,q^{2})_{\infty }}}}

它的级数表达是OEIS中的数列A010054 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。

χ

(

q

)

≡

f

(

−

q

,

q

2

)

{\displaystyle \chi (q)\equiv f(-q,q^{2})}

它的级数表达是OEIS中的数列A000700 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。

應用[编辑]

拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論、超弦理論和M理論中的臨界維數（英语：Critical dimension）。

参考资料[编辑]

埃里克·韦斯坦因. Ramanujan Theta Functions. MathWorld. 

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=拉马努金Θ函数&oldid=78350590”

分类：​Θ函數橢圓函數模形式斯里尼瓦瑟·拉马努金隐藏分类：​自2020年5月需要從英語維基百科翻譯的條目需要從英語維基百科翻譯的條目自2020年5月需要专业人士关注的页面所有需要專家關注的頁面其他需要專家關注的頁面自2020年5月缺少注脚的条目含有多个问题的条目

本页面最后修订于2023年8月2日 (星期三) 14:40。

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序言

1雅可比Θ函数

2辅助函数

3雅可比恒等式

4以nome q表示Θ函数

5乘积表示式

6积分表示式

7与黎曼ζ函数的关系

8与基本椭圆函数之关系

9与模形式之关系

10解热方程

11与海森堡群之关系

12推广

开关推广子章节

12.1拉马努金Θ函数

12.2黎曼Θ函数

12.3q-Θ函数

13参考文献

开关目录

Θ函数

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（重定向自Theta 函数）

数学中，Θ函数是一种多复变（英语：Several complex variables）特殊函数。其应用包括阿贝尔簇（英语：Abelian variety）与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论（英语：Descent (mathematics)）中，Θ函数是来自线丛（英语：Line bundle）条件。

雅可比Θ函数[编辑]

雅可比Θ函数取二变量

z

{\displaystyle z\,}

与

τ

{\displaystyle \tau \,}

，其中

z

{\displaystyle z\,}

为任何复数，而

τ

{\displaystyle \tau \,}

为上半复平面上一点；此函数之定义为：

ϑ

(

z

;

τ

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

 

e

(

π

i

n

2

τ

+

2

π

i

n

z

)

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}}

。

若固定

τ

{\displaystyle \tau \,}

，则此成为一周期为

1

{\displaystyle 1\,}

的单变量

(

z

)

{\displaystyle (z)\,}

整函数的傅里叶级数：

ϑ

(

z

+

1

;

τ

)

=

ϑ

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}

。

在以

τ

{\displaystyle \tau \,}

位移时，此函数符合：

ϑ

(

z

+

a

+

b

τ

;

τ

)

=

 

e

(

−

π

i

b

2

τ

−

2

π

i

b

z

)

ϑ

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )}

；

其中

a

{\displaystyle a\,}

与

b

{\displaystyle b\,}

为整数。

辅助函数[编辑]

可定义辅助函数：

ϑ

01

(

z

;

τ

)

=

ϑ

(

z

+

1

2

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )}

ϑ

10

(

z

;

τ

)

=

e

π

i

τ

4

+

π

i

z

ϑ

(

z

+

τ

2

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )}

ϑ

11

(

z

;

τ

)

=

e

π

i

τ

4

+

π

i

(

z

+

1

2

)

ϑ

(

z

+

τ

+

1

2

;

τ

)

.

{\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).}

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量

q

=

e

π

i

τ

{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}

替换了

τ

{\displaystyle \tau \,}

，而称本条目中的Θ为

θ

3

{\displaystyle \theta _{3}\,}

，

ϑ

01

{\displaystyle \vartheta _{01}}

为

θ

0

{\displaystyle \theta _{0}\,}

，

ϑ

10

{\displaystyle \vartheta _{10}}

为

θ

2

{\displaystyle \theta _{2}\,}

，

ϑ

11

{\displaystyle \vartheta _{11}}

为

−

θ

1

{\displaystyle -\theta _{1}\,}

。

若设

z

=

0

{\displaystyle z=0\,}

，则我们可从以上获得四支单以

τ

{\displaystyle \tau \,}

为变量之函数，其中

τ

{\displaystyle \tau \,}

取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：

ϑ

(

0

;

τ

)

4

=

ϑ

01

(

0

;

τ

)

4

+

ϑ

10

(

0

;

τ

)

4

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}

,

是为四次费马曲线。

雅可比恒等式[编辑]

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

α

=

(

−

i

τ

)

1

2

e

π

i

z

2

τ

{\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,}

则

ϑ

(

z

τ

;

−

1

τ

)

=

α

ϑ

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )}

ϑ

01

(

z

τ

;

−

1

τ

)

=

α

ϑ

10

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )}

ϑ

10

(

z

τ

;

−

1

τ

)

=

α

ϑ

01

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )}

ϑ

11

(

z

τ

;

−

1

τ

)

=

−

α

ϑ

11

(

z

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )}

以nome q表示Θ函数[编辑]

我们可用变量

w

{\displaystyle w\,}

与

q

{\displaystyle q\,}

，代替

z

{\displaystyle z\,}

与

τ

{\displaystyle \tau \,}

，来表示ϑ。设

w

=

e

π

i

z

{\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,}

而

q

=

e

π

i

τ

{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}

。则ϑ可表示为：

ϑ

(

w

;

q

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

w

2

n

q

n

2

.

{\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}

而辅助Θ函数可表示为：

ϑ

01

(

w

;

q

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

(

−

1

)

n

w

2

n

q

n

2

,

{\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},}

ϑ

10

(

w

;

q

)

=

q

1

4

∑

n

=

−

∞

∞

w

2

n

+

1

q

n

2

+

n

,

{\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},}

ϑ

11

(

w

;

q

)

=

i

q

1

4

∑

n

=

−

∞

∞

(

−

1

)

n

w

2

n

+

1

q

n

2

+

n

.

{\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.}

此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。

乘积表示式[编辑]

雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数

w

{\displaystyle w\,}

和

q

{\displaystyle q\,}

，其中

|

q

|

<

1

{\displaystyle |q|<1\,}

而

w

≠

0

{\displaystyle w\neq 0\,}

，则

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

+

w

2

q

2

m

−

1

)

(

1

+

w

−

2

q

2

m

−

1

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

w

2

n

q

n

2

.

{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（英语：An Introduction to the Theory of Numbers）。

若用nome变量

q

=

e

π

i

τ

{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,}

与

w

=

e

π

i

z

{\displaystyle w=e^{\pi iz}\,}

表示，则有：

ϑ

(

z

;

τ

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

exp

⁡

(

π

i

τ

n

2

)

exp

⁡

(

π

i

z

2

n

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

w

2

n

q

n

2

.

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}

由此得到Θ函数的积公式：

ϑ

(

z

;

τ

)

=

∏

m

=

1

∞

(

1

−

exp

⁡

(

2

m

π

i

τ

)

)

(

1

+

exp

⁡

(

(

2

m

−

1

)

π

i

τ

+

2

π

i

z

)

)

(

1

+

exp

⁡

(

(

2

m

−

1

)

π

i

τ

−

2

π

i

z

)

)

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)}

三重积等式左边可以扩展成：

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

+

(

w

2

+

w

−

2

)

q

2

m

−

1

+

q

4

m

−

2

)

,

{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),}

即

ϑ

(

z

|

q

)

=

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

+

2

cos

⁡

(

2

π

z

)

q

2

m

−

1

+

q

4

m

−

2

)

{\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}

。

这个式子在z取实值时尤为重要。

各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

ϑ

01

(

z

|

q

)

=

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

−

2

cos

⁡

(

2

π

z

)

q

2

m

−

1

+

q

4

m

−

2

)

.

{\displaystyle \vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}

ϑ

10

(

z

|

q

)

=

2

q

1

/

4

cos

⁡

(

π

z

)

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

+

2

cos

⁡

(

2

π

z

)

q

2

m

+

q

4

m

)

.

{\displaystyle \vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}

ϑ

11

(

z

|

q

)

=

−

2

q

1

/

4

sin

⁡

(

π

z

)

∏

m

=

1

∞

(

1

−

q

2

m

)

(

1

−

2

cos

⁡

(

2

π

z

)

q

2

m

+

q

4

m

)

.

{\displaystyle \vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}

积分表示式[编辑]

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

ϑ

(

z

;

τ

)

=

−

i

∫

i

−

∞

i

+

∞

e

i

π

τ

u

2

cos

⁡

(

2

u

z

+

π

u

)

sin

⁡

(

π

u

)

d

u

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du}

ϑ

01

(

z

;

τ

)

=

−

i

∫

i

−

∞

i

+

∞

e

i

π

τ

u

2

cos

⁡

(

2

u

z

)

sin

⁡

(

π

u

)

d

u

.

{\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.}

ϑ

10

(

z

;

τ

)

=

−

i

e

i

z

+

i

π

τ

/

4

∫

i

−

∞

i

+

∞

e

i

π

τ

u

2

cos

⁡

(

2

u

z

+

π

u

+

π

τ

u

)

sin

⁡

(

π

u

)

d

u

{\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}

ϑ

11

(

z

;

τ

)

=

e

i

z

+

i

π

τ

/

4

∫

i

−

∞

i

+

∞

e

i

π

τ

u

2

cos

⁡

(

2

u

z

+

π

τ

u

)

sin

⁡

(

π

u

)

d

u

{\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}

与黎曼ζ函数的关系[编辑]

黎曼常用关系式

ϑ

(

0

;

−

1

τ

)

=

(

−

i

τ

)

1

2

ϑ

(

0

;

τ

)

{\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

Γ

(

s

2

)

π

−

s

2

ζ

(

s

)

=

1

2

∫

0

∞

[

ϑ

(

0

;

i

t

)

−

1

]

t

s

2

d

t

t

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}}

；

而此积分于替换

s

→

1

−

s

{\displaystyle s\to 1-s}

下不变。

z

{\displaystyle z\,}

非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

与基本椭圆函数之关系[编辑]

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式，因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

℘

(

z

;

τ

)

=

−

(

log

⁡

ϑ

11

(

z

;

τ

)

)

″

+

c

{\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c}

其中二次微分相对于z，而常数c使

℘

(

z

)

{\displaystyle \wp (z)}

的罗朗级数（于 z = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

与模形式之关系[编辑]

设η为戴德金η函数。则

ϑ

(

0

;

τ

)

=

η

2

(

τ

+

1

2

)

η

(

2

τ

+

1

)

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}}

.

解热方程[编辑]

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

ϑ

(

x

,

i

t

)

=

1

+

2

∑

n

=

1

∞

exp

⁡

(

−

π

n

2

t

)

cos

⁡

(

2

π

n

x

)

{\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}

此解此下方程：

∂

∂

t

ϑ

(

x

,

i

t

)

=

1

4

π

∂

2

∂

x

2

ϑ

(

x

,

i

t

)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)}

。

于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

lim

t

→

0

ϑ

(

x

,

i

t

)

=

∑

n

=

−

∞

∞

δ

(

x

−

n

)

{\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}

，

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。

因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

与海森堡群之关系[编辑]

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

推广[编辑]

若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

θ

F

(

z

)

=

∑

m

∈

Z

n

exp

⁡

(

2

π

i

z

F

(

m

)

)

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))}

其中Zn为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

θ

F

(

z

)

=

∑

k

=

0

∞

R

F

(

k

)

exp

⁡

(

2

π

i

k

z

)

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)}

中，RF(k) 称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

拉马努金Θ函数[编辑]

主条目：拉马努金Θ函数

黎曼Θ函数[编辑]

设

H

n

=

{

F

∈

M

(

n

,

C

)

s

.

t

.

F

=

F

T

and

Im

F

>

0

}

{\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}}

为一集对称方矩阵，其虚部为正定，一般称Hn为“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z)： 当n = 1 时， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n维推广为态射核

Ker

{

Sp

(

2

n

,

Z

)

→

Sp

(

2

n

,

Z

/

k

Z

)

}

{\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}}

。

若设

τ

∈

H

n

{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}

，则可定义黎曼Θ函数：

θ

(

z

,

τ

)

=

∑

m

∈

Z

n

exp

⁡

(

2

π

i

(

1

2

m

T

τ

m

+

m

T

z

)

)

{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}

；

θ

(

z

,

τ

)

=

∑

m

∈

Z

n

exp

⁡

(

2

π

i

(

1

2

m

T

τ

m

+

m

T

z

)

)

{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}

；

其中

z

∈

C

n

{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}

为一n维复向量，上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例（设n = 1、

τ

∈

H

{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }

；其中

H

{\displaystyle \mathbb {H} }

为上半平面）。

在

C

n

×

H

n

.

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.}

的紧致子集上，黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为：

θ

(

z

+

a

+

τ

b

,

τ

)

=

exp

⁡

2

π

i

(

−

b

T

z

−

1

2

b

T

τ

b

)

θ

(

z

,

τ

)

{\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )}

；

此方程成立于

a

,

b

∈

Z

n

{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}}

,

z

∈

C

n

{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}

，

τ

∈

H

n

{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}

。

q-Θ函数[编辑]

主条目：q-Θ函数

参考文献[编辑]

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)

Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)

G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press

David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7

James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover

Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

本条目含有来自PlanetMath《Integral representations of Jacobi theta functions》的内容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。

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NDL: 00572911

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Θ函數&oldid=68285188”

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Theta函数系列（1） - 知乎

Theta函数系列（1） - 知乎首发于Naive Jacobi's Theta切换模式写文章登录/注册Theta函数系列（1）E·L古典音乐爱好者/博物学家ing/高三ing一.前言之前写过个文章，主要围绕Theta函数展开，但并没做过多介绍，事实上关于Theta，有很多有趣的性质，看起来足够高级，虽然与椭圆函数，模形式有关，但很多可以通过初等的代数技巧得到，既然初等，那我将尽量避开椭圆函数的出现，此系列的目的是让我更熟悉这些内容，同时又可以让更多读者参考，水平有限，如有问题，还请指出。二.无关紧要的定义Theta 函数有很多种类，比如 Jacobi,,Mock,Neville,Ramanujan,Riemann,Siegel 等等一系列以人名命名的函数，但本系列要讨论的是 Jacobi \quad Theta \vartheta_n(z,q)=\vartheta_n(z|\tau)\qquad q=e^{i\pi \tau} \quad \Im\tau>0 \\ 有四大类，其定义（看看就行）分别是\displaystyle{\vartheta_1(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^{n-\frac{1}{2}}q^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}q^{n(n+1)}sin[{(2n+1)z}]\\ \\ \vartheta_2(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}q^{n(n+1)}cos[{(2n+1)z}]\\ \vartheta_3(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}e^{2niz}\\ =1+2\sum_{n=1}^{\infty}q^{n^2}cos{(2nz)}\\ \vartheta_4(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^{n}q^{n^2}e^{2niz}\\ =1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^nq^{n^2}cos{(2nz)}\\}\\三.合理的定义与基本介绍现在我们正式开始！我们从如下函数 f(z) 开始，我们将证明 f(z)=\vartheta_4(z) , G 是一个只与 q 有关的常数\displaystyle{f(z)=G\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})\\=G\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1}e^{-2iz})(1-q^{2n-1}e^{2iz})}\\ 容易发现 f(z)=f(z+\pi) ,将 z’=z+\pi \tau 带入上面的式子，可以得到 f(z+\pi \tau)=-q^{-1}e^{-2iz}f(z)，这表明 \vartheta_4(z)/f(z) 是一个双周期函数，我们继续把 f(z) 展开成傅里叶级数，即 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2niz}\\ 由 a_n=a_{-n} 或 f(z)=f(-z) ,以及\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2niz}=-q^{-1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2(n-1)iz}\\ \Leftrightarrow\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nq^{2n+1}e^{2niz}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n+1}e^{2niz}}\\ 当我们选取一个常数 G使得 a_0=1 可以得到(我们将在后文证明 G=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n}))f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^nq^{n^2}cos2nz=\vartheta_4(z)\\ 让我解释一下，由于 \prod_{n=1}^{\infty}q^{2n-1} 的绝对收敛，可知 f(z) 一致收敛，由傅里叶系数的唯一性，就有 a_{n+1}=-q^{2n+1}a_n ,也就是 a_n=(-)^nq^{n^2}a_0\\ 如果我们带入 z'=z+\frac{1}{2}\pi ,就有 \displaystyle{f(z+\frac{1}{2}\pi)=G\prod_{n=1}^{\infty}(1+2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})}\\同样展开可得 f(z+\frac{1}{2}\pi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}cos2nz=\vartheta_3(z)\\ 同理如果我们带入 z'=z+\frac{1}{2}\pi \tau ,我们换一种记法 g(z)=f(z+\frac{1}{2}\pi \tau) ,可以发现该函数也存在周期 \pi ,以及 g(z+\pi \tau)=-q^{-1}e^{-2iz}e^{i\pi \tau} g(z)\\可以发现\displaystyle{g(z)=-iq^{\frac{1}{4}}e^{iz}G\vartheta_4(z+\frac{1}{2}\pi \tau)\\ =2Gq^{\frac{1}{4}}sinz\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n}cos2z+q^{4n})\\ =G\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n}e^{2iz})(1-q^{2n-2}e^{-2iz})\\ =-q^{\frac{1}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^nq^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}q^{n(n+1)}sin[{(2n+1)z}]\\ =\vartheta_1(z)}\\ 完全类似地，还有 \displaystyle{\vartheta_1(z+\frac{1}{2}\pi)=\vartheta_2(z)\\ =2Gq^{\frac{1}{4}}cosz\prod_{n=1}^{\infty}(1+2q^{2n}cos2z+q^{4n})}\\ 由定义，有 如下对偶式\displaystyle{\vartheta_3(z,q)+\vartheta_4(z,q)=2+2\sum_{n=1}^{\infty}(1+(-)^n)q^{n^2}cos{(2nz)}\\ =2[1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^nq^{4n^2}cos{(4nz)}]\\=2\vartheta_3(2z,q^4)}\\\displaystyle{\vartheta_3(z,q)-\vartheta_4(z,q)=2\sum_{n=1}^{\infty}(1-(-)^n)q^{n^2}cos{(2nz)}\\ =4\sum_{n=0}^{\infty}q^{(2n+1)^2}cos[{2(2n+1)z}]\\ =2\vartheta_2(2z,q^4)}\\ 也就是 \displaystyle{ {\vartheta_3(z,q)=\vartheta_3(2z,q^4)+\vartheta_2(2z,q^4)\\ \vartheta_4(z,q)=\vartheta_3(2z,q^4)-\vartheta_2(2z,q^4)}\\}\\四.AGM等式，Jacobi恒等式与定义中的常数G的初步尝试至此我们可以得到几个有趣的结果，在上面的第一个对偶式中取 z=0 并规定 \theta_i(q)=\vartheta_i(0,q) 有\displaystyle{\theta_3(q)+\theta_4(q)=2\theta_3^2(q^4)\\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{n^2+m^2}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)q^{n}}\\ 其中 n=p^2+q^2,r_2(n) 为对于不同的 p,q 的 n 的数目，并定义 r_2(0)=1 ,所以有 {\theta_4^2(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-)^{m+n}q^{n^2+m^2}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)(-)^nq^{n}}\\ 又因 \displaystyle{m^2+n^2\equiv m+n\quad (mod2)\\ 2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2}\\ 则对于数对 (a,b),存在双射使得 (a,b)\rightarrow (a',b')=(a \quad b)\left(\begin{array} 1 1&1 \\-1&1 \end{array}\right)\\且 (a',b')=(a-b,a+b)\\从而有r_2(2n)=r_2(n)\\ 也就有 \theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)=2\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n)q^{2n}\\=2\theta_3^2(q^2)\\ 还有 \theta_3(q)\theta_4(q)=\frac{1}{2}(\theta_3(q)+\theta_4(q))^2-\frac{1}{2}(\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q))\\ =2\theta_3^2(q^4)-\theta_3^2(q^2)\\ =\theta_4^2(q^2)\\ 也就是类似 AGM不等式，有(暂且称之为AGM等式)(其实就是方均根和几何平均数)\color{red}{\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)\\ \sqrt{\theta_3(q)\theta_4(q)}=\theta_4(q^2)}\\ 以及 \theta_3^2(q)-\theta_4^2(q^2)=\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)q^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n)q^{2n}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n+1)q^{2n+1}\\=\sum_{k,m=-\infty\\k+m \in odd}q^{m^2+k^2}\\ =\sum_{i,j=-\infty}q^{2((i+\frac{1}{2})^2+(j+\frac{1}{2})^2)^2}\\ =\theta_2^2(q^2)\\ 综合 AGM 等式，\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_4^2(q)\\ \theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q) \\ 有 \color{red}{} \color{red}{\theta_3^4(q)=\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)}\\ 这就是著名的 Jacobi 恒等式，我们还会用别的方法再次得到这一结果的不同形式，现在，我们看另一个结果，首先我们进行如下操作 ln\vartheta_3(z,q) =lnG+\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})\\求导\frac{\theta'_3}{\theta_3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{2iz}}{1+q^{2n-1}e^{2iz}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{-2iz}}{1+q^{2n-1}e^{-2iz}}\\ \displaystyle{\frac{\theta''_3}{\theta'_3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{2iz}}{1+q^{2n-1}e^{2iz}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{-2iz}}{1+q^{2n-1}e^{-2iz}}+\\\frac{\theta_3}{\theta'_3}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2i)^2q^{2n-1}e^{2iz}}{(1+q^{2n-1}e^{2iz})^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2i)^2q^{2n-1}e^{-2iz}}{(1+q^{2n-1}e^{-2iz})^2})}\\ 令 z\rightarrow0 可得 \theta'_3=0\\ \theta''_3=-8\theta_3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n-1}}{(1+q^{2n-1})^2}\\ 类似地还有 \theta'_2=0\\ \theta''_2=-\theta_2[1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1+q^{2n})^2}]\\ \theta'_4=0\\ \theta''_4=8\theta_4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n-1}}{(1-q^{2n-1})^2}\\ 以及对于 \phi'(z)sinz=\vartheta_1(z,q) 还有\phi'(0)=0\\ \phi''(0)=8\phi(0)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}\\ \theta'=\phi(0)\\ \theta'''=3\phi''(0)-\phi(0)\\ 因此 \frac{\theta'''_1}{\theta'_1}=24\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}-1\\ \displaystyle{\frac{\theta''_2}{\theta_2}+\frac{\theta''_3}{\theta_3}+\frac{\theta''_4}{\theta_4}+1=\\8[-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{(1+q^{n})^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{(1-q^{n})^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}]}\\ 五.热传导问题与Theta函数作为方程的解记住上面的内容，还没有结束，现在我们休息一下，扯一个题外话：热传导问题\theta 是在一各向同的固体导体中某点的温度，是关于时间 t 的函数，如果固体的密度为 \rho ，比热为 s ，导热系数为 k，那么 \theta 满足如下方程 \chi \Delta \theta=\frac {\partial \theta}{\partial t}\\ 其中 \chi=\frac{s}{\rho} 为扩散系数， \Delta 为拉普拉斯算子，当我们简化问题只考虑一个方向时有 \chi \frac {\partial^2 \theta(z,t)}{\partial z^2}=\frac {\partial \theta(z,t)}{\partial t}\\ 对于该方向上无限长限制在 z\in (0.\pi) 的理想情况下，假设有边界条件 \theta=0|_{z=0} ，以及 f(z)=\theta(z,0) 那么分离变量可得到方程的解 \theta(z,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-n^2 \chi t}sinnz\\ 傅里叶系数为b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(z)sinnz dz\\ 假设初始时刻除固体中点 z=\frac{\pi}{2} 处温度很高外，温度处处为0，也就是 f(z)=\pi \delta(z-\frac{\pi}{2}) ，也就有 b_n=2\int_{0}^{\pi}\delta(z-\frac{\pi}{2})sinnz dz=2sin\frac{n \pi}{2}\\\theta(z,t)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^ne^{-(2n+1)^2 \chi t}sin(2n+1)z\\ 得到结果了！（也许我不该写这个物理问题。。）六.定义中的常数G的再次尝试现在我们多知道了一件事 \frac{\pi}{4}\frac {\partial^2 \vartheta_3(z,t)}{\partial z^2}+\frac {\partial \vartheta_3(z,t)}{\partial t}=0\\ 改写一下四中的式子\displaystyle{\frac{1}{\theta'_2(\tau)}\frac{d\theta_2(\tau)}{d\tau}+\frac{1}{\theta'_3(\tau)}\frac{d\theta_3(\tau)}{d\tau}+\frac{1}{\theta'_4(\tau)}\frac{d\theta_4(\tau)}{d\tau}=\frac{1}{\theta'_1(\tau)}\frac{d\theta'_1(\tau)}{d\tau}}\\ 对 \tau 积分，有 \theta'_1(q)=C\theta_2(q)\theta_3(q)\theta_4(q)\\ 令 q\rightarrow0 ，有 C=1 ,以及 \theta'_1=\theta_2\theta_3\theta_4\\ 此时再带入 \theta'_1，\theta_2，\theta_3，\theta_4 ，就有 G^2=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^2\\ G=\pm\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})\\ 又由 \lim_{q \rightarrow 0}G\rightarrow1 \\ 可知 G=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})\\ 再把 \theta'_1，\theta_2，\theta_3，\theta_4 代入上文中的 Jacobi 恒等式，就有\displaystyle{\color{red}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^8+16q\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n})^8=\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1})^8}}\\这一结果最早来自于 Jacobi .事实上 \theta'_1=\theta_2\theta_3\theta_4 也被称为 Jacobi 恒等式，而在后续的内容中将会出现更多的 Jacobi 恒等式。七.Jacobi 三重积恒等式及Pentagonal数我在下面这个回答里也使用过这个结果，比较有趣。\sum_{n \in Z}q^{n^2}x^n=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}x^{-1})(1+q^{2n-1}x)\\ 这个式子的正规形式其实是令 x=e^{2iz} ，其实也就是我们上文提到过的 f(x) ,其证明有好多但现在我们来看 Euler 关于Pentagonal 数的结果:对于 \left| x \right|<1 由Jacobi 三重积恒等式有 \sum_{n \in Z}(-)^nx^{kn^2+nl}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{2kn+k-l})(1-x^{2kn+k+l})\\ 令 k=\frac{3}{2},l=\frac{1}{2} ,有 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{3n+1})(1-x^{3n+2})(1-x^{3n+3})}\\ 让我首先介绍一点东西然后再继续，对于一个正整数 n 可以表示为多个不一定相等的正整数的和时，即 n=a_1+a_2+....+a_m\\ 我们用 p(n) 表示数组 (a_1,a_2,...,a_m) 的数量，称为非限制分解。那么此时我们可以发现 \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)=\sum_{d=0}^{\infty}(-)^d\sum_{n_1,n_2,...n_d\geq0}^{\infty}x^{n_1+n_2+...+n_d}\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m\sum_{n_1,n_2,...n_d=m}^{\infty}(-)^d\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m[p_e(m)-p_o(m)]\\ 其中 p_e,p_o 分别表示把 m 分为偶数或奇数个不相等的部分，比如 7=6+1=5+2=4+3=4+2+1\\ p_e(7)=3,p_o(7)=2\\ 也就有 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m[p_e(m)-p_o(m)]}\\ 也就是说对于 m=\frac{n(3n+1)}{2}, p_e(m)-p_o(m)=(-)^n 或 0 .事实上，通过比系数，我们还可以得到 \displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{-1}\\=1+\sum_{d=0}^{\infty}(-)^d\sum_{n_1,n_2,...n_d\geq0}^{\infty}x^{n_1+n_2+...+n_d}\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}p(m)x^m}\\ 以及 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-)^n[x^{\frac{n(3n-1)}{2}}+x^{\frac{n(3n+1)}{2}}]}\\\displaystyle{(1+\sum_{n=1}^{\infty}(-)^n[x^{\frac{n(3n-1)}{2}}+x^{\frac{n(3n+1)}{2}}])(1-\sum_{n=1}^{\infty}p(n)x^n)=1}\\最后直观感受一下Pentagonal 数，我们这一次的内容就到这里！生病了，一躺下就咳嗽，不敢躺下，于是写这个内容，现在发现天已经亮了。。后续还是要更新的，但是高三生活非常恶心，住宿，没有时间，现在是因为病了回家才敢想整这些没用的，所以更新的不确定性很大。参考1^Eliptic Functions. J.V.Armitage /W.F.Eberlen.2^A Course of Morden Analysis.E.T.Whittaker / G.N.Watson.3^特殊函数概论. 王竹溪/ 郭敦仁.编辑于 2023-12-24 10:07・IP 属地中国台湾函数特殊函数​赞同 26​​5 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录Naive Jacobi's Theta避免出现椭圆函数，模以及解

[数学物理]-δ函数 - 知乎

[数学物理]-δ函数 - 知乎首发于物理学笔记-High切换模式写文章登录/注册[数学物理]-δ函数张稀桧a non-local existence本文旨在总结δ函数相关的定义/性质，持续补充ing……定义 I在最经典的表述方法下，δ函数被定义为：\delta(x-x_0)= \begin{cases} \infty&x=x_0\\ 0&x\ne x_0 \end{cases}\\ 且 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1\\这样定义的δ函数是最简洁且最符合物理直觉的一种方法，它很自然地让人们联想到概率分布、点源以及脉冲。譬如，在三维欧氏空间中，一个点电荷分布可以被描述为 q\delta(\bold r-\bold r_0) ；在电信号中，一个理想情况下的脉冲信号可以被描述为 k\delta(t-t_0) 。同时，δ函数作为一个广义函数，其本身的性质由于极限性的缘故变得十分独特，如果我们顺着定义I来研究它，将得到一些有趣的数学性质。性质 I1.0 正交性x\delta(x)=0\\ [证]：由定义，显然。此条性质将被运用于计算坐标的本征函数(δ函数)的正交归一性上。它还给出了1.0*：若存在两个函数 f 与 g 满足 xf=xg ，则有 f=g+c\delta(x) 1.1 筛选性\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\ [证]：由于δ函数本身的极限性质，显然有\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}f(x)\delta(x-x_0)\text dx\\ 在很小区间 (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) 中， f(x) 的值可以被 \overline{f(x)}|_{x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)}=f(x_0) 代替。于是原积分 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\ 证毕#非常直观地，δ函数的这个性质使它具备了对于任意函数的筛选功能，此性质同时也是其他性质的基础。1.2 奇偶性\delta(x)=\delta(-x)\\ [证]：设函数 f_1(x)=\delta(x-x_1) ，函数 f_2(x)=\delta(x-x_2) ，考虑以下积分：\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx\\ 用两种不同的方式计算此积分，并利用性质1.1，有\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_1)f_2(x)\text dx=f_2(x_1)=\delta(x_1-x_2)\\ \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)\delta(x-x_2)\text dx=f_1(x_2)=\delta(x_2-x_1)\\ 那么显然\delta(x_1-x_2)=\delta(x_2-x_1)\\ 证毕#此条性质表明δ函数是一个偶函数，这在一些涉及它的积分运算中非常有用。1.3 伸缩性 \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\ [证]：考虑 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text d(ax)=1 ，以及 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1 ，稍作变换并联立，有a\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx\\ 由于δ函数非负且为偶函数，而被积函数应恒等，故显然：\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\ 证毕#此条性质也可看做奇偶性的推广(a=1)。1.4 自身筛选性 本条性质是根据筛选性应用到δ函数自身而自然得出的。它可以具体地写为：\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)\delta(x-b)\text dx= \begin{cases} \infty&a=b\\ 0&a\ne b \end{cases}\\ 于是，还有性质1.4*：\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x-a)\text dx=\infty\\ 1.5 延时性 \delta(x-a)*f(x)=f(x-a)\\ [证]：考虑δ函数与 f(x) 的卷积：\begin{align} \delta(x-a)*f(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(x-a-\xi)\text d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(\xi-(x-a))\text d\xi\\ &=f(x-a) \end{align}\\ 这直观地给出了延时的操作。证毕#而1.5*给出两个δ函数的卷积：\delta(x-a)*\delta(x-b)=\delta(x-(a+b))\\ 1.6 点源δ函数满足一类最简单的泊松方程：-\nabla^2\varphi=4\pi q\delta(\bold r-\bold r_0)\\ 由此得出一个矢量分析的恒等式\nabla·\frac{\bold r}{r^3}=-\nabla^2\frac{1}{r}=4\pi\delta(\bold r-\bold r_0)\\ 定义 II在历史上，δ函数并不是作为一个广义函数被首先提出，而是作为在解决傅里叶变换问题时自然引出的一个辅助函数被提出。傅里叶在《热分析理论》(Théorie analytique de la chaleur)一书中，考虑了以下积分：f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega\cos[\omega(x-\alpha)]\\ 此积分用现代傅里叶变换的指数语言来描述，即为：\begin{align} f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega e^{i\omega x}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)e^{-i\omega\alpha}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\text d\omega \end{align}\\ 柯西后来指出，若将积分的计算顺序改变(不影响结果)，那么将得到另外一种形式：f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega]f(\alpha)\text d\alpha\\ 在这里能够清晰地看到， \int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega 作为一个特殊的函数独立出来，它正是起到「筛选」的作用(算上归一化常数)。那么，这个函数可以被定义为：\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega\\ 有趣的是，若我们根据定义I计算δ函数的傅里叶变换(它显然满足绝对可积条件，而同时它又是和Dirichlet条件是自洽的，这在下文会详细讨论)，那么有：\mathcal{F}[\delta(x-x_0)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)e^{-i\omega x}\text dx=e^{-i\omega x_0}\\ 显然，当 x_0=0 时， \mathcal{F}[\delta(x)]=1 ，即δ函数的傅里叶变换为常函数1。于是，可以写出反傅里叶变换：\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega x}\text d\omega\\ 这和我们刚才得出的结论是完全等价/自洽的。上式便是δ函数的第二种定义。性质 II根据定义II，我们有能力继续探讨δ函数的其他三大性质。2.0 辅助函数/初生δ函数δ函数定义I的两大特征给予我们一个灵感：是否存在其他的一些经典函数，它们虽然不作为广义函数，但能够在某些极限情况下自然过渡到δ函数？在同一定义域 (-\infty,+\infty) 上，我们取一个由参数 \alpha 描述的函数 f_\alpha(x) ，它满足以下两条类δ函数性质：i） f_\alpha(x)_{max}=f_\alpha(0) ii） \int_{-\infty}^{+\infty}f_\alpha(x)\text dx=1 以及过渡性质：iii） \lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(0)=\infty 那么，我们有充足的理由相信： \lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(x)=\delta(x) 基于此，我们可以得到大量δ函数的辅助函数，以下仅作为结论给出(均易证)：V_\alpha(x)=\frac{\sin\alpha x}{\pi x} (sinc函数)G_\alpha(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi\alpha}}e^{-\frac{x^2}{\alpha}} (高斯核/热核，它由无限长细杆的热传导问题得出)L_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2} (泊松核，它由半平面拉普拉斯方程问题得出)S_\alpha(x)=\frac{\alpha}{\pi x^2}\sin^2(\frac{x}{\alpha}) E_\alpha(x)=\frac{1}{2\alpha}e^{-\frac{|x|}{\alpha}} I_\alpha(x)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{i\frac{\pi}{4}}e^{-i\alpha x^2} (此函数在极限情况下每一点都趋于δ函数)W_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\alpha}^{+\alpha}e^{i\omega x}\text d\omega 图略。 C_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x+\alpha^2} ( \alpha\in(0,1) ，此函数的定义域为 [-\pi,\pi] ，因为这个定义域上它已经是归一化的了)2.1 Dirichlet核Dirichlet核将作为一个重要的δ函数的辅助函数，用来证明Dirichlet定理的充分性。为了引入Dirichlet核，我们考虑以下求和：1+2\sum_{i=1}^m\cos ix\\ 利用三角恒等变形： \sin\frac{1}{2}x\cos ix=\frac{1}{2}[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x] 裂项计算：\begin{align} \sin\frac{1}{2}x\sum_{i=1}^m\cos ix&=\sum_{i=1}^m\sin\frac{1}{2}x\cos ix\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x]\\ &=\frac{1}{2}[\sin(m+\frac{1}{2})x-\sin\frac{1}{2}x] \end{align}\\ 那么1+2\sum_{i=1}^m\cos ix=\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\\ 两边同时在 [-\pi,\pi] 积分，由于余弦函数是偶函数，左边求和符号内积分为0，故有：\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\text dx=2\pi\\ 考虑凑成归一化形式，于是令 D_m(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x} ，它被称为Dirichlet内核(Dirichlet kernel)，与 C_\alpha(x) 类似，它满足：i） \int_{-\pi}^\pi D_m(x)\text dx=1 ii） \lim_{m\rightarrow\infty}[\lim_{x\rightarrow0}D_m(x)]=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}(2m+1)=\infty 故 D_m(x) 为δ函数的一个辅助函数， \lim_{m\rightarrow\infty}D_m(x)=\delta(x),\;\;\;x\in[-\pi,\pi] 。我们还可以考虑另一个Dirichlet核，Diirichlet倍核，它是B_m(x)=2D_m(x),\;\;\;x\in[0,\pi]\\ 显然它在非对称区间 [0,\pi] 上是归一化的，它的极限同样是δ函数。利用这两个Dirichlet核，我们尝试证明Dirichlet定理的充分性。在傅里叶分析中，Dirichlet定理被表述为：若 f(x) i）在 (-\pi,\pi) 内除有限点外有定义且是单值的；ii）在 (-\pi,\pi) 外是周期为 2\pi 的周期函数；iii）在 (-\pi,\pi) 内分段光滑，即它和它的一阶导数 f'(x) 在 (-\pi,\pi) 内分段连续，则f(x) 的傅里叶级数 a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 收敛于i） f(x) ，若 x 为连续点；ii） \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} ，若 x 为第一类间断点。我们需要考虑的是傅里叶级数收敛性在连续点和第一类间断点都是符合Dirichlet定理的，一个非常好的思路是将级数以部分和的形式带入计算，最后将求和上限的参数取极限到正无穷，可以想象，取极限的过程正是积分内δ函数的辅助函数过渡为δ函数的过程。[证]：下面给出一种简略的证法。首先给出傅里叶级数的部分和： F_m(x)=a_0+\sum_{n=1}^m(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 系数分别为：a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt\text dt ； b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\text dt ； a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt 带入后并应用和差角公式与Dirichlet内核，有\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^m\int_{-\pi}^\pi f(t)(\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx)\text dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)[1+2\sum_{n=1}^m\cos n(x-t)]\text dt\\ &=\int_{-\pi}^\pi f(t)D_m(x-t)\text dt \end{align}\\ i）连续点对于连续点，可以自然地在 x 处直接取 m\rightarrow\infty ，故有\begin{align} \lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)&=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_m(x-t)\text dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\delta(x-t)\text dt\\ &=f(x) \end{align}\\ ii）第一类间断点\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt]\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}[\int_0^\pi f(x+t)B_m(t)\text dt+\int_0^\pi f(x-t)B_m(t)\text dt]\\ \end{align} 通过在间断点两侧拆分积分，我们自然地引入了Dirichlet倍核，于是可以方便地在间断点处取极限：\lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)=\frac{1}{2}[\int_0^{\pi}f(x+t)\delta(t)\text dt+\int_0^{\pi}f(x-t)\delta(t)\text dt]=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\\ 证毕#2.2 δ函数与连续谱本征函数2.2.1 坐标算符的连续谱本征函数坐标的本征方程： x|x'\rangle=x'|x'\rangle 注意到性质1.0： x\delta(x)=0 ，显然 \delta(x-x') 满足本征方程，即(x-x')\delta(x-x')=0\\ 同时，本征函数δ函数满足正交归一性，即\langle x'|x''\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x')\delta(x-x'')\text dx=\delta(x'-x'')\\ 且满足完备性，即任意一个连续函数可按照坐标算符的本征函数集展开：f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x')\delta(x'-x)\text dx'\\ 在坐标表象中，几个力学量的矩阵表示为：\langle x'|x|x''\rangle=x'\delta(x'-x'')\\ \langle x'|V|x''\rangle=V(x')\delta(x'-x'')\\ \begin{align} \langle x'|p|x''\rangle&=\iint\text dp'\langle x'|p'\rangle\langle p'|p|p''\rangle\langle p''|x''\rangle\text dp''\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}\iint\text dp'e^{\frac{1p'x'}{\hbar}}p'\delta(p'-p'')e^{\frac{-ip''x''}{\hbar}}\text dp''\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x'})\int\text dp'e^{\frac{ip'(x'-x'')}{\hbar}}\\ &=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x'}\delta(x'-x'') \end{align}\\ 2.2.2 动量算符的连续谱本征函数动量的本征方程： p|p'\rangle=p'|p'\rangle 和坐标算符一样，它也满足正交归一性： \langle p'|p''\rangle=\delta(p'-p'') 若基于动量的一般本征函数 \psi_p(x)=ce^{\frac{ipx}{\hbar}} ，根据正交归一性可以得出归一化常数为c=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\\ 对于动量本征函数的完备性，考虑 f(x) 的傅里叶变换：f(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}\text dp\\ 带入 \psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}} ，有按照动量算符的本征函数集展开的 f(x) ：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)\psi_p(x)\text dp\\ 而对于δ函数，它的展开即为：\delta(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_p(x)\text dp\\ 对于动量表象下的力学量，只需要将坐标表象下的δ函数内的坐标换为动量，将δ函数外的坐标换为 x'\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial p'} 。定义 IIIδ函数被定义为阶梯函数的导函数。阶梯函数： \theta(x)= \begin{cases} 1&x>0\\ 0&x<0 \end{cases} 从更广义的角度来看，对一个非连续函数在间断点处取微分，都可以得到类δ函数(局部相似)。考虑积分：\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta'(x)\text dx\\ 对它进行分部积分操作：\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta'(x)\text dx&=f(x)\theta(x)|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(x)f'(x)\text dx\\ &=f(\infty)-\int_{0}^{+\infty}f'(x)\text dx\\ &=f(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)\text dx \end{align} 由被积函数处处相等可得到上述结论。性质 III由定义III，δ函数在半经典热统里有着重要的意义，它在离散的求和转化为连续的积分时通过对阶梯函数求导而出现(它与能级有关)。在热统中，dE 是宏观层面上对“无穷小”量的描述，但是在微观层面 h 量级上，能级非常稠密， dE 实际上包含了很多层能级。因此在求和的过程中，完全可以取相空间上的一个状态点 \frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} 来用积分替换状态求和。在引入态密度 D(\varepsilon) 时：\begin{align} d\sum_{态}A(\bold p,\bold r)\Leftrightarrow D(\varepsilon)d \varepsilon&=\int_{\varepsilon\leq H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\&=\int_{H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} -\int_{H<\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\theta(\varepsilon+d\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}-\int\theta(\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\frac{d\theta(\varepsilon-H)}{d\varepsilon}d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\delta(\varepsilon-H)d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} \end{align}\\ 利用这一点可以去尝试求一些简单的态密度函数。例如经典情况下： H=\frac{p^2}{2m} 经典情况下多粒子态密度函数为：\begin{align} D(E)&=\frac{1}{N!h^{3N}}\int\delta(E-\frac{p^2}{2m})\text {d}^N\bold{p_i}\text {d}^N\bold {r_i}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}}{N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)\text{d}^{N}\bold{p'}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}}{N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)p'^{3N-1}\text dp'k_{3N}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}k_{3N}}{2N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)p'^{3N-2}\text d p'^2\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}k_{3N}}{2N!h^{3N}}\sqrt E^{3N-2} \end{align}\\ 其中k_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\\ 而在非极端相对论情况下( H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} )，我们需要证明δ函数的另一个性质。1.6 复合δ函数对于一些只有单根的 \psi(x) ，若记它的根为 x_i ，满足：i） \psi(x_i)=0 ii） \psi'(x_i)\ne 0 则\delta[\psi(x)]=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|\psi'(x_i)|}=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|\psi'(x)|}\\ [证]：很显然，只有在 \psi(x)=0 时，即取那些单根 x_i 时， \delta[\psi(x)] 才不为0，那么可以将其展开为\delta[\psi(x)]=\sum_ia_i\delta(x-x_i)\\ 对于展开系数 a_i ，考虑积分\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\frac{\text d\psi(x)}{\psi'(x)}\\ 利用微分中值定理，并令 \varepsilon\rightarrow 0 ，有：\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\frac{1}{\psi'(x_j)}\int_{\psi(x_j-\varepsilon)}^{\psi(x_j+\varepsilon)}\delta[\psi(x)]\text d\psi(x)\\ 又左式可以写为：\begin{align} \int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx&=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\sum_ia_i\delta(x-x_i) \text dx\\ &=\sum_ia_i\delta_{ij}\\ &=a_j \end{align}\\ 再做换元 j\rightarrow i ，有：a_i=\frac{1}{\psi'(x_i)}\int_{\psi(x_i-\varepsilon)}^{\psi(x_i+\varepsilon)}\delta[\psi(x)]\text d\psi(x)\\ i）若 \psi'(x_i)>0 ，则 \psi(x_i-\varepsilon)<\psi(x_i+\varepsilon) 那么显然， a_i=\frac{1}{\psi’(x_i)} ii）若 \psi'(x_i)<0 ，则 \psi(x_i-\varepsilon)>\psi(x_i+\varepsilon) 那么，更换积分上下限，有 a_i=-\frac{1}{\psi'(x_i)} 综上，展开系数 a_i=\frac{1}{|\psi'(x_i)|} ，在乘上 \delta(x-x_i) 并求和过程中，等价于 \frac{1}{|\psi'(x)|} 。证毕#根据这条性质，我们有：\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}[\delta(x-a)+\delta(x+a)]\\ \delta(\sin x)=\sum_k\frac{\delta(x-k\pi)}{|\cos x|}\\ \delta(\cos x)=\sum_k\frac{\delta[x-(k+\frac{1}{2})\pi]}{|\sin x|}\\ 基于此，给出非极端相对论情况下的单粒子态密度函数： \begin{align} D(E)&=\iint\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\frac{V}{h^3}\int\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})4\pi p^2\text dp&[\delta(\sqrt x-a^2)=2\sqrt x\delta(x-a^4)]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int2\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\delta(p^2c^2+m^2c^4-E^2)p^2\text dp&[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta x]\\ &=\frac{8\pi V}{h^3}\int\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\delta[p^2-(\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2)]p^2\text dp&[\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}\delta(x-a),x>0]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int\delta(p-\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2})p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\text dp&[f(p)=p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}]\\ &=\frac{4\pi V}{c^3h^3}E\sqrt{E^2-m^2c^4} \end{align} 定义 IV分布/测度待补充。编辑于 2022-06-11 09:34数学物理统计物理高等数学​赞同 311​​21 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录物理学笔记-High高阶物理袋数几何记录代数几何学习的一